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卡瓦列里定理

卡瓦列利定理,也被稱為祖暅原理或等冪等積定理,是一種涉及幾何求積的著名命題。這個定理的主要內容是:夾在兩條平行直線之間的兩個平面圖形,被平行於這兩條直線的任意直線所截,如果所得的兩條截線長度相等,那麼這兩個平面圖形的面積相等;夾在兩個平行平面之間的兩個立體圖形,被平行於這兩個平面的任意平面所截,如果所得的兩個截面的面積相等,那麼這兩個立體圖形的體積相等。

這個定理的起源可以追溯到《九章算術》中的錯誤答案。唐代李淳風注《九章算術》時提到祖暅的開立圓術。祖暅在求球體積時,使用一個原理:「冪勢既同,則積不容異」。這裡的「冪」是截面積,「勢」是立體的高。意思是兩個同高的立體,如在等高處的截面積相等,則體積相等。

卡瓦列利定理在西方,直到17世紀,才由義大利數學家卡瓦列利(Bonaventura Cavalieri,1589-1647)發現。於1635年出版的《連續不可分幾何》中,提出了等積原理,所以祖暅原理的英文名為Cavalieri's Principle。這個定理在數學中有著重要的套用,例如在計算一些複雜幾何體的體積上面。